Implicit and explicit

Implicit

是并不会告诉任何点的信息，只会告诉该曲面上所有点满足的关系

• 判断所给出的隐式方程描述的是一个怎样的形状十分困难
• 可以十分容易的判断出一点与曲面的关系

example for Implicit

• 代数方法描述
• Constructive Solid Geometry（CSG 通过基本几何的运算定义新的几何）
• Signed Distance Functions（空间任何点到物体表面的最短距离来描述，用正负表示在物体外还是内） 在2D情况，看下图就很好理解了

图片来自https://blog.csdn.net/CODE_RabbitV/article/details/140288664

当两个距离函数进行融合后后，找到所有值为0的位置，就是融合后的物体表面

• 分形

explicit

所有曲面的点被直接给出，或者可以通过映射关系直接得到 例如：

把uv都遍历一遍就可以拿到所有的(x,y,z)

因根据需要选择一种表达方式

Exampl For Explicit

• Point Cloud（点云）全是点组成的模型
• Polygon Mesh（多边形面） 计算机中用三角形面表示的文件 .obj文件

Curves 曲线

贝塞尔曲线（Bézier Curves）

给定一系列控制点，画出曲线，下图是实际例子 de Casteljau实现 考虑3个控制点（quadratic Bezier） 给定一个比例t，把两个线段都根据t截开

得到的两个点连起来再执行相同操作 最后只有一个点了，就确定了曲线一个点的位置 把所有的t都找一遍，就画出了曲线，见下图，想象一下绿色和蓝色的线跟着t的变化一直变化，就会画出蓝色的线 可以用表达式表达出每个点，用t去截线段，其实就是做一个插值计算 最终总结，给定n+1个控制点，比例t的情况下，可以得到n阶的贝塞尔曲线 贝塞尔曲线的一些性质：

• 必定经过起始与终止控制点
• 必定经与起始与终止线段相切
• 具有仿射变换性质，可以通过移动控制点移动整条曲线
• 凸包性质，曲线一定不会超出所有控制点构成的多边形范围 什么是凸包（convex hull）？想象墙上有许多图钉，我们需要用一根橡皮筋把这些图钉围住，于是我们开始会让橡皮筋尽可能的撑大，然后松手放开橡皮筋，它所形成的多边形即为凸包，如图中蓝色曲线所示

贝塞尔曲线在控制点过多时，不好控制，如下图所示 于是就有了Piecewise Bézier Curves，取一部分点做，然后结合起来，如下图 贝塞尔曲线的连续性 C0连续，就是控制点重合 C1连续就是达到了曲面光滑，实现方法看下图红线

Surfaces 曲面

贝塞尔曲面

通过贝塞尔曲线获得贝塞尔曲面的方法： 如下图已经画出了四条贝塞尔曲线，在t取某一值下生成的4个点，把这4个点作为控制点再画一条曲线，这样t变化时，这条线就绘制成了一个面

Mesh Operation

Mesh subdivision 曲面细分

引入更多的三角形，

Loop Subdivision

1. 增多三角形数量，如下如

2. 调整细分后新的三角形顶点处理，更新一条边的中心点，如下图的白点，对这个点的处理，通过上下左右四个顶点加权平均（这个权重是具体的算法，这里不做解释）

3. 旧的顶点呢，如下图白点就是一个旧顶点，更新算法包括自己本来的位置，以及周围顶点进行加权平均

Catmull-Clark Subdivision

一般的模型不一定全是三角形，就没法用loop subdivision，Catmull-Clark可用于一般情况，如下图有正方形也有三角形 先定义两个表达，非四边形面和奇异点（度不等于 4的点） 如上图框所示，每条边和每个面都取钟中点，然后把这些点连起来，如下图所示 连接后，奇异点变多了，非四边形都消失了，此时奇异点是4个，但是如果继续细分，奇异点数目并不会继续增加，如下图还是4个 与loop一样，调整完后需要对顶点位置进行处理，处理方法如下 下图为两种方法对比

Mesh Simplification 曲面简化

当模型距离很远时，模型的细节就没必要表现出来

Collapsing An Edge 边坍缩

那哪些边可以进行坍缩，如果度量呢？下图进行了度量，首先5个顶点进行平均效果并不好， 用2次误差方法来实现：即坍缩之后蓝色新顶点所在的位置与原来各个平面的垂直距离之和。

1. 为模型每条边赋值，其值为坍缩这条边之后，代替两个老顶点的新顶点所能得到的最小二次误差度量
2. 选取权值最小的边做坍缩，新顶点位置为原来计算得出使得二次误差最小的位置
3. 坍缩完之后，与之相连其他的边的位置会改动，更新这些边的权值
4. 重复上述步骤，直到到达终止条件 一些坍缩的实例 几何部分就这些东西了～